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FSC202 – Eletromagnetismo Prof. Hans R Zimermann – 2026

Lição 03: Definição de Campo Elétrico, Intensidade e Mapeamento por Linhas de Força Número da Lição: 03 Título: Definição de Campo Elétrico, Intensidade e Mapeamento por Linhas de Força Unidade temática: Campo Elétrico Tópicos principais: Conceito de campo elétrico, carga de prova, intensidade do campo elétrico, linhas de campo elétrico (propriedades e representação), campo elétrico de cargas puntiformes. Pré-requisitos: Lei de Coulomb, princípio da superposição, vetores (Lição 02). Conexão com a lição anterior: Transiciona da força entre cargas para o conceito de campo como mediador dessa força. Objetivos de aprendizagem: Definir campo elétrico como uma propriedade do espaço gerada por cargas elétricas. Calcular a intensidade do campo elétrico em um ponto devido a uma ou mais cargas puntiformes. Interpretar e desenhar linhas de campo elétrico para diferentes configurações de carga. Compreender a relação entre a força elétrica e o campo elétrico. Aplicar o princípio da superposição para campos elétricos. Introdução Na Lição 02, estudamos a Lei de Coulomb, que descreve a força de ação à distância entre cargas elétricas. Embora essa lei seja eficaz para calcular forças, ela não explica como uma carga “sente” a presença de outra sem contato direto. Para resolver essa questão, Michael Faraday introduziu o conceito de campo elétrico. O campo elétrico é uma propriedade do espaço ao redor de uma carga elétrica, que exerce uma força sobre qualquer outra carga colocada nesse espaço. O Conceito de Campo Elétrico Imagine uma carga \(Q\) em repouso. Ela modifica o espaço ao seu redor, criando um “campo” que pode interagir com outras cargas. Se colocarmos uma pequena carga de prova \(q_0\) nesse campo, ela experimentará uma força \(\vec{F}\). O campo elétrico \(\vec{E}\) em um ponto é definido como a força por unidade de carga que uma carga de prova positiva experimentaria naquele ponto. Definição Formal: O campo elétrico \(\vec{E}\) em um ponto é definido como a força eletrostática \(\vec{F}\) exercida sobre uma carga de prova positiva \(q_0\) colocada naquele ponto, dividida pela magnitude da carga de prova: \[\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}\] A unidade de campo elétrico no SI é Newtons por Coulomb (N/C). Importância da Carga de Prova: A carga de prova \(q_0\) deve ser positiva por convenção e infinitesimalmente pequena (\(q_0 \to 0\)). Positiva: Para que a direção de \(\vec{E}\) seja a mesma da força sobre uma carga positiva. Infinitesimalmente pequena: Para que ela não altere significativamente a distribuição das cargas que estão criando o campo que queremos medir. Campo Elétrico de uma Carga Puntiforme Consideremos uma carga puntiforme \(Q\) localizada na origem. Para encontrar o campo elétrico em um ponto \(P\) a uma distância \(r\) de \(Q\), colocamos uma carga de prova \(q_0\) em \(P\). Pela Lei de Coulomb, a força sobre \(q_0\) é: \[\vec{F} = k \frac{Q q_0}{r^2} \hat{r}\] Onde \(\hat{r}\) é o vetor unitário que aponta de \(Q\) para \(P\). Usando a definição de campo elétrico \(\vec{E} = \vec{F}/q_0\): \[\vec{E} = \frac{1}{q_0} \left( k \frac{Q q_0}{r^2} \hat{r} \right)\] \[\vec{E} = k \frac{Q}{r^2} \hat{r}\] Esta é a expressão para o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme \(Q\). Se \(Q > 0\), \(\vec{E}\) aponta radialmente para fora de \(Q\). Se \(Q < 0\), \(\vec{E}\) aponta radialmente para dentro de \(Q\). Exemplo 2.1: Campo elétrico de uma carga puntiforme. Calcule a magnitude e a direção do campo elétrico em um ponto \(P\) localizado a \(10 \text{ cm}\) de uma carga puntiforme \(q = +5.0 \text{ nC}\). Solução: Dados: \(q = +5.0 \times 10^{-9} \text{ C}\) \(r = 10 \text{ cm} = 0.10 \text{ m}\) \(k = 8.9875 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) A magnitude do campo elétrico é: \[E = k \frac{|q|}{r^2}\] \[E = (8.9875 \times 10^9) \frac{5.0 \times 10^{-9}}{(0.10)^2}\] \[E = (8.9875 \times 10^9) \frac{5.0 \times 10^{-9}}{0.01}\] \[E = (8.9875 \times 10^9) \times (5.0 \times 10^{-7})\] \[E = 4.49375 \times 10^3 \text{ N/C}\] Como a carga \(q\) é positiva, o campo elétrico aponta radialmente para fora da carga. Princípio da Superposição para Campos Elétricos Assim como as forças, os campos elétricos obedecem ao princípio da superposição. O campo elétrico resultante em um ponto devido a um conjunto de cargas é a soma vetorial dos campos elétricos produzidos por cada carga individualmente. \[\vec{E}_{total} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \dots + \vec{E}_N = \sum_{i=1}^{N} \vec{E}_i\] Onde \(\vec{E}_i\) é o campo elétrico produzido pela carga \(q_i\) no ponto de interesse. Exemplo 2.2: Campo elétrico de duas cargas. Duas cargas puntiformes, \(q_1 = +2.0 \text{ nC}\) e \(q_2 = -2.0 \text{ nC}\), estão separadas por \(6.0 \text{ cm}\). Calcule o campo elétrico no ponto médio entre as cargas. Solução: Dados: \(q_1 = +2.0 \times 10^{-9} \text{ C}\) \(q_2 = -2.0 \times 10^{-9} \text{ C}\) Distância total \(d = 6.0 \text{ cm} = 0.06 \text{ m}\). Ponto médio está a \(r = d/2 = 3.0 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}\) de cada carga. Vamos considerar o ponto médio como a origem \((0,0)\). Então \(q_1\) está em \((-0.03 \text{ m}, 0)\) e \(q_2\) está em \((+0.03 \text{ m}, 0)\). Campo \(\vec{E}_1\) devido a \(q_1\) no ponto médio: \(q_1\) é positiva, então \(\vec{E}_1\) aponta para fora de \(q_1\), ou seja, na direção \(+x\). \(E_1 = k \frac{|q_1|}{r^2} = (8.9875 \times 10^9) \frac{2.0 \times 10^{-9}}{(0.03)^2}\) \(E_1 = (8.9875 \times 10^9) \frac{2.0 \times 10^{-9}}{9.0 \times 10^{-4}} \approx 1.997 \times 10^4 \text{ N/C}\) \(\vec{E}_1 = (1.997 \times 10^4 \hat{i}) \text{ N/C}\) Campo \(\vec{E}_2\) devido a \(q_2\) no ponto médio: \(q_2\) é negativa, então \(\vec{E}_2\) aponta para dentro de \(q_2\), ou seja, na direção \(-x\). \(E_2 = k \frac{|q_2|}{r^2} = (8.9875 \times 10^9) \frac{2.0 \times 10^{-9}}{(0.03)^2} \approx 1.997 \times 10^4 \text{ N/C}\) \(\vec{E}_2 = (-1.997 \times 10^4 \hat{i}) \text{ N/C}\) (Oops, \(q_2\) é negativa, então o campo aponta para ela. Se \(q_2\) está em \(+0.03\) e o ponto é \(0\), o vetor unitário de \(q_2\) para o ponto é \(-\hat{i}\). Mas o campo de uma carga negativa aponta para a carga. Então, se \(q_2\) está à direita do ponto, o campo aponta para a direita, na direção \(+x\). Vamos refazer a direção com cuidado.) Correção para \(\vec{E}_2\): Se \(q_2\) está em \(x=+0.03 \text{ m}\) e o ponto de interesse é \(x=0\), o vetor unitário \(\hat{r}\) de \(q_2\) para o ponto é \((0 – 0.03)\hat{i} / 0.03 = -\hat{i}\). A fórmula \(\vec{E} = k \frac{Q}{r^2} \hat{r}\) já incorpora a direção. \(\vec{E}_2 = k \frac{q_2}{r^2} \hat{r}_{2 \to P} = (8.9875 \times 10^9) \frac{(-2.0 \times 10^{-9})}{(0.03)^2} (-\hat{i})\) \(\vec{E}_2 = (8.9875 \times 10^9) \frac{(-2.0 \times 10^{-9})}{9.0 \times 10^{-4}} (-\hat{i}) \approx (-1.997 \times 10^4) (-\hat{i}) \text{ N/C}\) \(\vec{E}_2 = (+1.997 \times 10^4 \hat{i}) \text{ N/C}\) Isso faz sentido: \(q_2\) é negativa, então o campo aponta para \(q_2\). Se \(q_2\) está à direita do ponto, o campo no ponto aponta para a direita. Campo elétrico resultante: \(\vec{E}_{total} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = (1.997 \times 10^4 \hat{i}) + (1.997 \times 10^4 \hat{i})\) \(\vec{E}_{total} = (3.994 \times 10^4 \hat{i}) \text{ N/C}\) A magnitude do campo elétrico resultante é \(3.994 \times 10^4 \text{ N/C}\) e aponta na direção \(+x\). Linhas de Campo Elétrico As linhas de campo elétrico são uma ferramenta visual introduzida por Michael Faraday para representar a direção e a magnitude do campo elétrico no espaço. Propriedades das Linhas de Campo: Origem e Destino: As linhas de campo elétrico nascem em cargas positivas e morrem em cargas negativas (ou no infinito, se não houver carga oposta). Direção: A tangente a uma linha de campo em qualquer ponto indica a direção do vetor campo elétrico \(\vec{E}\) naquele ponto. Densidade: A densidade das linhas (quão próximas elas estão umas das outras) é proporcional à magnitude do campo elétrico. Onde as linhas estão mais densas, o campo é mais intenso. Não se Cruzam: Duas linhas de campo elétrico nunca se cruzam. Se o fizessem, significaria que o campo elétrico teria duas direções diferentes no mesmo ponto, o que é impossível. Perpendiculares a Superfícies Condutoras: As linhas de campo são sempre perpendiculares à superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático. Representação Visual: Carga Puntiforme Positiva: Linhas radiais apontando para fora. Carga Puntiforme Negativa: Linhas radiais apontando para dentro. Dipolo Elétrico (carga positiva e negativa próximas): As linhas nascem na carga positiva e terminam na carga negativa, formando curvas características. Duas Cargas Positivas: As linhas se repelem, curvando-se para longe uma da outra. As linhas de campo são um modelo conceitual, não representam trajetórias de partículas carregadas (a menos que a partícula esteja em repouso e liberada no campo). Exercício Prático com Gabarito em Python Problema: Duas cargas puntiformes, \(q_1 = +1.0 \text{ nC}\) e \(q_2 = -1.0 \text{ nC}\), formam um dipolo elétrico. Elas estão localizadas em \((0, 0.05 \text{ m})\) e \((0, -0.05 \text{ m})\), respectivamente. Calcule o campo elétrico resultante (magnitude e direção) no ponto \((0.1 \text{ m}, 0)\). Solução Analítica: Definir as posições e cargas: \(q_1 = +1.0 \times 10^{-9} \text{ C}\) em \(\vec{r}_1 = (0, 0.05)\) \(q_2 = -1.0 \times 10^{-9} \text{ C}\) em \(\vec{r}_2 = (0, -0.05)\) Ponto de interesse \(P = (0.1, 0)\) Constante de Coulomb: \(k = 8.9875 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) Campo \(\vec{E}_1\) devido a \(q_1\) em \(P\): Vetor de \(q_1\) para \(P\): \(\vec{r}_{1P} = P – \vec{r}_1 = (0.1, 0) – (0, 0.05) = (0.1, -0.05) \text{ m}\). Distância \(r_{1P} = |\vec{r}_{1P}| = \sqrt{(0.1)^2 + (-0.05)^2} = \sqrt{0.01 + 0.0025} = \sqrt{0.0125} \approx 0.1118 \text{ m}\). Vetor unitário \(\hat{r}_{1P} = \frac{(0.1, -0.05)}{0.1118} \approx (0.8944, -0.4472)\). \(q_1\) é positiva, então \(\vec{E}_1\) aponta na direção de \(\hat{r}_{1P}\). \(E_1 = k \frac{q_1}{r_{1P}^2} = (8.9875 \times 10^9) \frac{1.0 \times 10^{-9}}{(0.1118)^2} = (8.9875 \times 10^9) \frac{1.0 \times 10^{-9}}{0.0125} = 719.0 \text{ N/C}\). \(\vec{E}_1 = (719.0) \cdot (0.8944, -0.4472) \approx (643.2 \hat{i} – 321.6 \hat{j}) \text{ N/C}\). Campo \(\vec{E}_2\) devido a \(q_2\) em \(P\): Vetor de \(q_2\) para \(P\): \(\vec{r}_{2P} = P – \vec{r}_2 = (0.1, 0) – (0, -0.05) = (0.1, 0.05) \text{ m}\). Distância \(r_{2P} = |\vec{r}_{2P}| = \sqrt{(0.1)^2 + (0.05)^2} = \sqrt{0.01 + 0.0025} = \sqrt{0.0125} \approx 0.1118 \text{ m}\). Vetor unitário \(\hat{r}_{2P} = \frac{(0.1, 0.05)}{0.1118} \approx (0.8944, 0.4472)\). \(q_2\) é negativa, então \(\vec{E}_2\) aponta na direção oposta a \(\hat{r}_{2P}\) (ou seja, para \(q_2\)). \(E_2 = k \frac{|q_2|}{r_{2P}^2} = (8.9875 \times 10^9) \frac{1.0 \times 10^{-9}}{(0.1118)^2} = 719.0 \text{ N/C}\). \(\vec{E}_2 = (719.0) \cdot (-\hat{r}_{2P}) = (719.0) \cdot (-0.8944, -0.4472) \approx (-643.2 \hat{i} – 321.6 \hat{j}) \text{ N/C}\). Campo elétrico resultante \(\vec{E}_{total}\) em \(P\): \(\vec{E}_{total} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2\) \(\vec{E}_{total} = (643.2 \hat{i} – 321.6 \hat{j}) + (-643.2 \hat{i} – 321.6 \hat{j})\) \(\vec{E}_{total} = (0 \hat{i} – 643.2 \hat{j}) \text{ N/C}\). Magnitude e direção: Magnitude: \(E_{total} = \sqrt{0^2 + (-643.2)^2} = 643.2 \text{ N/C}\). Direção: \(-y\) (ou \(270^\circ\) em relação ao eixo \(x\) positivo). Validação Numérica em Python: python

  Exercício Desafio com Visualização Problema: Gere um mapa de linhas de campo elétrico para um dipolo elétrico composto por duas cargas puntiformes de \(+1.0 \text{ nC}\) e \(-1.0 \text{ nC}\), separadas por \(0.1 \text{ m}\). Solução e Visualização em Python: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Constante de Coulomb (para cálculo do campo, não para plotagem das linhas) k = 8.9875e9 # N m^2 / C^2 # Cargas e suas posições q1 = 1.0e-9 # Carga positiva q2 = -1.0e-9 # Carga negativa pos1 = np.array([-0.05, 0.0]) # Posição da carga positiva pos2 = np.array([0.05, 0.0]) # Posição da carga negativa # Função para calcular o vetor campo elétrico em um ponto (x, y) def campo_eletrico(x, y, q_carga, pos_carga): r_vetor = np.array([x, y]) – pos_carga distancia = np.linalg.norm(r_vetor) if distancia == 0: # Evitar divisão por zero na posição da carga return np.array([0.0, 0.0]) r_hat = r_vetor / distancia E_magnitude = k * q_carga / distancia**2 return E_magnitude * r_hat # Criar uma grade de pontos para calcular o campo x_grid = np.linspace(-0.2, 0.2, 20) y_grid = np.linspace(-0.2, 0.2, 20) X, Y = np.meshgrid(x_grid, y_grid) # Calcular o campo elétrico em cada ponto da grade Ex = np.zeros(X.shape) Ey = np.zeros(Y.shape) for i in range(X.shape[0]): for j in range(X.shape[1]): E_total = campo_eletrico(X[i,j], Y[i,j], q1, pos1) + \ campo_eletrico(X[i,j], Y[i,j], q2, pos2) Ex[i,j] = E_total[0] Ey[i,j] = E_total[1] # Normalizar os vetores para melhor visualização (apenas para o quiver plot) magnitude_E = np.sqrt(Ex**2 + Ey**2) Ex_norm = Ex / (magnitude_E + 1e-9) # Adicionar pequeno valor para evitar divisão por zero Ey_norm = Ey / (magnitude_E + 1e-9) # Plotar as linhas de campo usando streamplot plt.figure(figsize=(8, 8)) plt.streamplot(X, Y, Ex, Ey, color=’blue’, linewidth=1, density=2, arrowsize=1.5) # Plotar as cargas plt.plot(pos1[0], pos1[1], ‘o’, color=’red’, markersize=10, label=’Carga Positiva (+)’) plt.plot(pos2[0], pos2[1], ‘o’, color=’green’, markersize=10, label=’Carga Negativa (-)’) # Adicionar rótulos para as cargas plt.text(pos1[0] – 0.01, pos1[1] + 0.01, ‘+’, color=’white’, fontsize=12, ha=’center’, va=’center’) plt.text(pos2[0] + 0.01, pos2[1] – 0.01, ‘-‘, color=’white’, fontsize=12, ha=’center’, va=’center’) plt.title(‘Linhas de Campo Elétrico de um Dipolo Elétrico’) plt.xlabel(‘Posição X (m)’) plt.ylabel(‘Posição Y (m)’) plt.grid(True, linestyle=’–‘, alpha=0.6) plt.gca().set_aspect(‘equal’, adjustable=’box’) plt.xlim(-0.2, 0.2) plt.ylim(-0.2, 0.2) plt.legend() plt.show() Interpretação do Gráfico: O gráfico mostra as linhas de campo elétrico para um dipolo elétrico. As linhas de campo nascem na carga positiva (vermelha) e terminam na carga negativa (verde). A densidade das linhas é maior perto das cargas, indicando um campo elétrico mais intenso nessas regiões. As linhas nunca se cruzam. A direção das setas nas linhas indica a direção do campo elétrico, que é para fora da carga positiva e para dentro da carga negativa. A simetria do dipolo é claramente visível, com as linhas curvando-se de uma carga para a outra. Exercícios de Fixação Uma carga puntiforme de \(-4.0 \text{ nC}\) está localizada na origem. Calcule o campo elétrico (magnitude e direção) em um ponto \((0, -0.2 \text{ m})\). Duas cargas puntiformes, \(q_1 = +3.0 \text{ nC}\) em \((0, 0)\) e \(q_2 = -5.0 \text{ nC}\) em \((0.3 \text{ m}, 0)\), estão fixas. Calcule o campo elétrico resultante no ponto \((0.1 \text{ m}, 0.2 \text{ m})\). Desenhe as linhas de campo elétrico para duas cargas puntiformes positivas idênticas, separadas por uma pequena distância. Explique as principais características do seu desenho. Se uma carga de prova negativa fosse usada para definir o campo elétrico, como a definição e a direção das linhas de campo seriam afetadas? Um elétron é liberado do repouso em um campo elétrico uniforme de magnitude \(E = 100 \text{ N/C}\) apontando na direção \(+x\). Calcule a força sobre o elétron e sua aceleração inicial. (Massa do elétron \(m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\), carga do elétron \(q_e = -1.602 \times 10^{-19} \text{ C}\)). Explique por que as linhas de campo elétrico nunca podem se cruzar e por que elas são sempre perpendiculares à superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático. Recursos Complementares Livro Texto: HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física, Volume 3: Eletromagnetismo. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. (Capítulo 22: Campo Elétrico) TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Volume 2: Eletricidade e Magnetismo, Luz. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. (Capítulo 21: Campo Elétrico) NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica, Volume 3: Eletromagnetismo. 5. ed. São Paulo: Blucher, 2015. (Capítulo 3: Campo Elétrico) GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2011. (Capítulo 2: Eletrostática) Vídeos e Simulações Online: Simulação de Cargas e Campos (PhET Interactive Simulations): https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/charges-and-fields (Visualize linhas de campo para diferentes configurações de carga). Khan Academy: Vídeos sobre campo elétrico e linhas de campo. Artigos e Textos de Apoio: Artigos sobre a contribuição de Michael Faraday para o conceito de campo. Questões para Discussão Qual a vantagem de usar o conceito de campo elétrico em vez de apenas a Lei de Coulomb para descrever interações entre cargas? Como o campo elétrico se relaciona com a força elétrica? Se conhecemos o campo elétrico em uma região, podemos prever a força sobre qualquer carga colocada lá? Por que a carga de prova deve ser infinitesimalmente pequena na definição de campo elétrico? Discuta a analogia entre o campo gravitacional e o campo elétrico. Quais são as semelhanças e diferenças fundamentais? As linhas de campo elétrico são reais ou apenas uma ferramenta conceitual? Justifique sua resposta. Se o campo elétrico em uma região é zero, isso significa que não há cargas elétricas nessa região? Explique.